Russellsche Antinomie

Wurde von Russell 1901 im Rahmen der Arbeit an den Priciples of Mathematics - seinem ersten, 1903 veröffentlichten Buch zu den Grundlagen der Mathematik - entdeckt. In der ursprünglichen, von Bolzanos einfachem Konzept der „Sammlung von Elementen mit einer gemeinsamen Eigenschaft“ abgeleiteten Fassung dieses Paradox, offenbart sich ein wesentlicher Fehler der Cantorschen Mengenlehre. Auf Grund der Allgemeingültigkeit dieser Definition, die Frege auf den Bereich der Logik übertragen hatte, lässt sich von einer “Menge von Mengen“ reden und dementsprechend schließlich auch von einer „Menge aller Mengen“. Wenn wir nun die Elemente dieser allumfassenden Menge betrachten, dann findet sich darunter eines mit der Eigenschaft „der eigenen Einschließlichkeit“, d.h. einer Menge, die sich selbst als Element enthält. Demgemäß kann die Menge aller Mengen auch eine Menge sein, die sich selbst als Element enthält, so wie die Menge aller Einträge auf einer Liste als Eintrag auf genau dieser Liste erscheinen kann. Ganz im Gegensatz allerdings zu der Menge aller Zahlen, die ja selbst durch keine Zahl repräsentiert wird und also keine Menge sein kann, die sich selbst enthält. Auf Grund dieser Eigenschaft können wir also eine „Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten“ bestimmen und uns mit dem jungen Russell die Frage stellen: „Enthält diese Menge sich selbst oder nicht?“ Schauen wir uns mal an, was passiert: sollte sie sich selbst enthalten, folgt daraus, dass sie zu jenen Mengen gehört, die sich selbst nicht enthalten (dies war ja schließlich die Eigenschaft, die die Elemente der untersuchten Menge charakterisiert) und kann sich dementsprechend nicht selbt enthalten. Sollte sie sich jedoch nicht selbst enthalten, besitzt sie nicht die Eigenschaft, sich selbst nicht zu enthalten und das bedeutet, sie enthielte sich selbst. Diese Situation, dass die Annahme von etwas dessen Gegenteil impliziert, und vice versa, nennt man Paradox. Und wenn ein Paradox, so wie bei Russell, in einer Theorie auftaucht, bedeutet das, dass eine ihrer grundlegenden Voraussetzungen, Definitionen oder Axiome falsch sind. Obwohl im historischen Kontext der Mengenlehre entstanden, ordnete Russell seine Antinomie später dem Bereich der Selbstreferenzialität zu, d.h. den Behauptungen, die sich in der Art und Weise auf sich selbst beziehen, wie der Satz des Eubulides “ Ich lüge sie gerade an.“

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Erich Kästner